Αριθμητικές μέθοδοι

Με βάση συναρτησιακές παραμέτρους μπορούμε να υλοποιήσουμε παραμετρικά διάφορες αριθμητικές μεθόδους. Τα παρακάτω παραδείγματα αν και απλοϊκά ως προς τις τεχνικές και τις μεθόδους υλοποίησης δείχνουν τον τρόπο της παραμετρικής χρήσης συναρτησιακών παραμέτρων.

Εύρεση ρίζας εξίσωσης με τη μέθοδο Newton-Raphson

Μπορούμε να επιλύσουμε μια εξίσωση της μορφής f(x) = 0 με βάση την επαναλαμβανόμενη εφαρμογή του

μέχρι η διαφορά μεταξύ δύο εφαρμογών να γίνει αρκετά μικρή. Η αρχική τιμή που χρησιμοποιούμε είναι απλώς μια υπόθεση.

Η εύρεση της παραγώγου f' της f για μια τιμή x μπορεί και αυτή να υπολογιστεί αριθμητικά ως:

για μια αρκετά μικρή τιμή του h.

Το παρακάτω πρόγραμμα βρίσκει αριθμητικά μια ρίζα (1.4142135624) της εξίσωσης x^2 - 2 = 0.

program NewtonRaphsonExample;
{$F+}
const
     Epsilon = 1e-8;	{Αρκετά μικρή τιμή}

type
    realfun = function(x : real) : real;

{Εύρεση παραγώγου της f για την τιμή x}
function DerivativeValue(f : realfun; x : real) : real;
begin
     DerivativeValue := (f(x + epsilon) - f(x)) / epsilon
end;

{Εύρεση ρίζας της f για αρχική πιθανή τιμή x}
function NewtonRaphson(f : realfun; x1 : real) : real;
var
   x0 : real;
begin
     repeat
           x0 := x1;
           x1 := x0 - f(x0) / DerivativeValue(f, x0)
     until abs(x1 - x0) < epsilon;
     NewtonRaphson := x1
end;

{Εξίσωση - παράδειγμα (χ^2 - 2 = 0)}
function Example(x : real) : real;
begin
     Example := sqr(x) - 2
end;

begin
     writeln(NewtonRaphson(Example, 12))
end.

Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρώματος με τη μέθοδο του τραπεζίου

Χωρίζοντας την επιφάνεια που ορίζει μια συνάρτηση σε μεγάλο αριθμό τραπεζίων μπορούμε να προσεγγίσουμε αριθμητικά την τιμή του ολοκληρώματος:

ως άθροισμα των εμβαδών τους. Το όρισμα μιας τέτοιας συνάρτησης είναι της μορφής:

Function Integrate(f : realfun; a, b : real) : real;